\(\int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx\) [117]

Optimal result

Integrand size = 21, antiderivative size = 43 \[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=-\frac {2 \cos (e+f x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},-n,\frac {3}{2},1-\sin (e+f x)\right )}{f \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \]

[Out]

-2*cos(f*x+e)*hypergeom([1/2, -n],[3/2],1-sin(f*x+e))/f/(1+sin(f*x+e))^(1/2)

Rubi [A] (verified)

Time = 0.04 (sec) , antiderivative size = 43, normalized size of antiderivative = 1.00, number of steps used = 2, number of rules used = 2, \(\frac {\text {number of rules}}{\text {integrand size}}\) = 0.095, Rules used = {2855, 67} \[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=-\frac {2 \cos (e+f x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},-n,\frac {3}{2},1-\sin (e+f x)\right )}{f \sqrt {\sin (e+f x)+1}} \]

[In]

Int[Sin[e + f*x]^n*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]],x]

[Out]

(-2*Cos[e + f*x]*Hypergeometric2F1[1/2, -n, 3/2, 1 - Sin[e + f*x]])/(f*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]])

Rule 67

Int[((b_.)*(x_))^(m_)*((c_) + (d_.)*(x_))^(n_), x_Symbol] :> Simp[((c + d*x)^(n + 1)/(d*(n + 1)*(-d/(b*c))^m))
*Hypergeometric2F1[-m, n + 1, n + 2, 1 + d*(x/c)], x] /; FreeQ[{b, c, d, m, n}, x] &&  !IntegerQ[n] && (Intege
rQ[m] || GtQ[-d/(b*c), 0])

Rule 2855

Int[Sqrt[(a_) + (b_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)]]*((c_.) + (d_.)*sin[(e_.) + (f_.)*(x_)])^(n_), x_Symbol] :> Dist
[a^2*(Cos[e + f*x]/(f*Sqrt[a + b*Sin[e + f*x]]*Sqrt[a - b*Sin[e + f*x]])), Subst[Int[(c + d*x)^n/Sqrt[a - b*x]
, x], x, Sin[e + f*x]], x] /; FreeQ[{a, b, c, d, e, f, n}, x] && NeQ[b*c - a*d, 0] && EqQ[a^2 - b^2, 0] && NeQ
[c^2 - d^2, 0] &&  !IntegerQ[2*n]

Rubi steps \begin{align*} \text {integral}& = \frac {\cos (e+f x) \text {Subst}\left (\int \frac {x^n}{\sqrt {1-x}} \, dx,x,\sin (e+f x)\right )}{f \sqrt {1-\sin (e+f x)} \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \\ & = -\frac {2 \cos (e+f x) \operatorname {Hypergeometric2F1}\left (\frac {1}{2},-n,\frac {3}{2},1-\sin (e+f x)\right )}{f \sqrt {1+\sin (e+f x)}} \\ \end{align*}

Mathematica [C] (warning: unable to verify)

Result contains higher order function than in optimal. Order 6 vs. order 5 in optimal.

Time = 13.59 (sec) , antiderivative size = 2262, normalized size of antiderivative = 52.60 \[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\text {Result too large to show} \]

[In]

Integrate[Sin[e + f*x]^n*Sqrt[1 + Sin[e + f*x]],x]

[Out]

(2^(2 + n)*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Sqrt[1 +
Sin[e + f*x]]*(Cos[(e + f*x)/2]*Sin[e + f*x]^n + Sin[(e + f*x)/2]*Sin[e + f*x]^n)*Tan[(e + f*x)/4]*(2*(2 + n)
*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1
+ n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 +
2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/(f*(1 + n)*(2 + n)*(Cos[(e + f*x)/2
] + Sin[(e + f*x)/2])*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n*((2^(1 + n)*n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(1 + 2*n)*(Cos[(e + f*x)/4
]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]^2*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n
), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, T
an[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2
, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4])*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^(-1 - n))/((1 + n)*(2 + n)) + (2^n*(Sec[(e +
f*x)/4]^2)^(1 + 2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 +
n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1
+ 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2,
Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2
^(2 + n)*n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^(-1 + n)*(
Cos[(e + f*x)/4]*(-1/4*Cos[(e + f*x)/4] + (3*Cos[(3*(e + f*x))/4])/4) - (Sin[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] +
Sin[(3*(e + f*x))/4]))/4)*Tan[(e + f*x)/4]*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e +
f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n, (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan
[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*
Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2^(2 + n)*n*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos
[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]^2*(2*(2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2,
-n, 2*(1 + n), (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] - (2 + n)*AppellF1[(1 + n)/2, -n, 1 + 2*n,
(3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2] + 2*(1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e
+ f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Tan[(e + f*x)/4]))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n) + (2^(2 + n
)*(Sec[(e + f*x)/4]^2)^(2*n)*(Cos[(e + f*x)/4]*(-Sin[(e + f*x)/4] + Sin[(3*(e + f*x))/4]))^n*Tan[(e + f*x)/4]*
(((1 + n)*AppellF1[1 + n/2, -n, 2 + 2*n, 2 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2)
/2 + 2*(1 + n)*Tan[(e + f*x)/4]*(-1/2*((1 + n/2)*n*AppellF1[2 + n/2, 1 - n, 2 + 2*n, 3 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]
^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2 + n/2) - ((1 + n/2)*(2 + 2*n)*AppellF1[2 + n/
2, -n, 3 + 2*n, 3 + n/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2*(2 +
n/2))) - (2 + n)*(-1/2*(n*(1 + n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2, 1 - n, 1 + 2*n, 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2,
-Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(3 + n) - ((1 + n)*(1 + 2*n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2,
-n, 2 + 2*n, 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(2*
(3 + n))) + 2*(2 + n)*(-1/2*(n*(1 + n)*AppellF1[1 + (1 + n)/2, 1 - n, 2*(1 + n), 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/
4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])/(3 + n) - ((1 + n)^2*AppellF1[1 + (1 + n)/2, -
n, 1 + 2*(1 + n), 1 + (3 + n)/2, Tan[(e + f*x)/4]^2, -Tan[(e + f*x)/4]^2]*Sec[(e + f*x)/4]^2*Tan[(e + f*x)/4])
/(3 + n))))/((1 + n)*(2 + n)*(1 - Tan[(e + f*x)/4]^2)^n)))

Maple [F]

\[\int \left (\sin ^{n}\left (f x +e \right )\right ) \sqrt {\sin \left (f x +e \right )+1}d x\]

[In]

int(sin(f*x+e)^n*(sin(f*x+e)+1)^(1/2),x)

[Out]

int(sin(f*x+e)^n*(sin(f*x+e)+1)^(1/2),x)

Fricas [F]

\[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \sin \left (f x + e\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate(sin(f*x+e)^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral(sin(f*x + e)^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Sympy [F]

\[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int \sqrt {\sin {\left (e + f x \right )} + 1} \sin ^{n}{\left (e + f x \right )}\, dx \]

[In]

integrate(sin(f*x+e)**n*(1+sin(f*x+e))**(1/2),x)

[Out]

Integral(sqrt(sin(e + f*x) + 1)*sin(e + f*x)**n, x)

Maxima [F]

\[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \sin \left (f x + e\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate(sin(f*x+e)^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="maxima")

[Out]

integrate(sin(f*x + e)^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Giac [F]

\[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int { \sin \left (f x + e\right )^{n} \sqrt {\sin \left (f x + e\right ) + 1} \,d x } \]

[In]

integrate(sin(f*x+e)^n*(1+sin(f*x+e))^(1/2),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate(sin(f*x + e)^n*sqrt(sin(f*x + e) + 1), x)

Mupad [F(-1)]

Timed out. \[ \int \sin ^n(e+f x) \sqrt {1+\sin (e+f x)} \, dx=\int {\sin \left (e+f\,x\right )}^n\,\sqrt {\sin \left (e+f\,x\right )+1} \,d x \]

[In]

int(sin(e + f*x)^n*(sin(e + f*x) + 1)^(1/2),x)

[Out]

int(sin(e + f*x)^n*(sin(e + f*x) + 1)^(1/2), x)